HERMENITIK KONSTRUKTIF MATEMATIKA MODEL
Annisa Nur
Arifah
Abstrak
Pembahasan
dari tulisan ini secara garis besar merujuk pada Konsepsi
Leibniz, Matematika Formal Hilbert, Teorema Godel, Bilangan
Godel, Teorema undefinability Tarski, Alan Mathison Turing, dan Matematika Non-Standar. Pada
bagian pendahuluan, pembahasan diarahkan pada penjelasan ontologi dan
epistemologi dari matematika. Kemudian dilanjutkan dengan adanya konsepsi dari Leibniz yang pandangannya sangat berbeda arah dengan Plato.
Pendapat yang sejalan dengang Plato yaitu Hilbert, yang
kemudian muncul matematika formal Hilbert. Namun, teorema Hilbert ini runtuh
dengan adanya teorema ketidaklengkapan Gödel yang
didalamnya terdapat bilangan Gödel. Selanjutnya, ada juga teorema
undefinability Tarski dan Alan Mathison Turing. Sebagai
penutup terdapat penjelasan mengenai matematika non-standar.
Kata kunci: Konsepsi Leibniz, Matematika Formal Hilbert, Teorema
Godel, Bilangan
Godel, Teorema undefinability Tarski, Alan Mathison Turing, dan Matematika Non-Standar
Daftar Isi
A. FILOSOFIS UMUM
Kajian Filsafat
bersifat intensif dan ekstensif. Intensif maksudnya adalah dalam sedalam
dalamnya sampai tidak ada yang lebih dalam. Ekstensif artinya luas
seluas-luasnya. Walaupun intensif dan ekstensif adalah “dalam” dan “luas” dalam
khasanah kemampuan manusia, tetapi pengertian demikian serta-merta langsung
dapat berbenturan dengan kaidah Agama. Oleh karena itu mempelajari filsafat
tidaklah terbebas dari ketentuan-ketentuan. Memelajari Filsafat hendaknya tidak
bersifat parsial, tetapi bersifat komprehensif dan holistik. Mengomunikasikan
Filsafat hendaknya sesuatu dengan ruang, waktu dan konteksnya. Mempelajari
Filsafat hendaknya dilandasi keyakinan dan akidah spiritualitas yang kokoh.
Filsafat adalah pikiran para Filsuf, maka mempelajari Filsafat adalah
mempelajari pikiran para Filsuf (Marsigit, 2013).
Salah satu
Filsuf besar yaitu Descartes, berdasarkan Turan H. (2014) Descartes membawa proposisi matematika ke dalam keraguan
saat ia meragukan semua keyakinan tentang hakekat akal sehat dengan
mengasumsikan bahwa semua keyakinan berasal dari persepsi tampaknya hanya
sampai pada anggapan awal bahwa masalah yang dihadapinya sebetulnya adalah
suatu keraguan tentang matematika, yaitu sebuah contoh dari masalah keraguan
tentang keberadaan zat. Descartes mengklaim bahwa meskipun matematika secara
ekstensif menggunakan metode deduksi, namun dia mengatakan bahwa deduksi adalah
metode tunggal yang sah dan memegang intuisi yang sangat diperlukan sebagai
alat untuk memperoleh pengetahuan matematika, dan proposisi matematika memiliki
tingkat yang sama dengan kepastian sebagai argumen cogito ontologis yang pasti.
1. Ontologi Matematika
Menurut
Endang Komara (2011) ontologi adalah penjelasan tentang
keberadaan atau eksistensi yang mempermasalahkan akar-akar (akar yang paling
mendasar tentang apa yang disebut dengan ilmu pengetahuan itu). Ontology menurut istilah merupakan ilmu yang
membahas hakikat yang ada, yang merupakan ultimate reality, baik
berbentuk jasmani/konkret maupun rohani abstrak (Bakhtiar 2004). Suriasumantri
(2007), menuliskan bahwa ontologi membahas tentang apa yang ingin kita ketahui,
seberapa jauh kita ingin tahu, atau, dengan kata lain suatu pengkajian mengenai
teori tentang “ada”.Ontology merupakan salah satu
cabang filsafat yang termasuk dalam kajian metafisika. Metafisika umum atau
ontologi, membahas segala sesuatu yang ada secara menyeluruh dan sekaligus.
Pembahasan ini dilakukan dengan membedakan dan memisahkan eksistensi yang
sesungguhnya dari penampilan atau penampakan eksistensi itu.
Ada 3 teori ontologi yang terkenal.
1) Idealisme. Teori ini mengajarkan bahwa ada yang sesungguhnya
berada di dalam dunia ide. Segala sesuatu yang tampak dan wujud nyata dalam
inderawi hanyalah merupakan gambaran atau bayangan dari yang sesungguhnya, yang
berada di dunia ide. Jadi realitas yang sesungguhnya, bukanlah yang kelihatan,
melainkan yang tidak kelihatan. Tokoh-tokoh idealis adalah George Berkeley,
Immanuel Kant, dan Wilhelem Friederich Hegel.
2) Materialisme. Bagi materialisme, ada yang sesungguhnya adalah
yang keberadaannya semata-mata bersifat material atau sama sekali bergantung
pada material. Jadi, realitas yang sesungguhnya alam kebendaan, dan segala
sesuatu yang mengatasi alur kebendaan itu haruslah dikesampingkan. Oleh karena
itu seluruh realitas hanya mungkin dijelaskan secara materialistis. Tokoh-tokoh
materialis adalah Demokritos, Thomas Hobbes, dan Ludwig Andreas Feuerbach.
3) Dualisme. Teori ini mengajarkan bahwa substansi individual
terdiri dari dua tipe fundamental yang berbeda dan tak dapat direduksi kepada
yang lainnya. Kedua tipe fundamental dari substansi itu ialah material dan
mental. Dengan demikian, dualisme mengakui bahwa realitas terdiri dari materi
atau yang ada secara fisik dan mental atau yang keberadaannya tidak kelihatan
secara fisis.
Berdasarkan beberapa pengertian ontologi di atas,
dapat disimpulkan bahwa ontologi merupakan penjelasan mengenai hakikat segala
sesuatu yang ada, baik kongkrit maupun abstrak. Sesuatu itu dapat diisi dengan
matematika model.
Ontology
matematika, pada hakekatnya matematika
menurut Ruseffendi (1988 : 23), adalah
bahasa simbol; ilmu
deduktif; ilmu tentang
pola keteraturan, dan
struktur yang terorganisasi, mulai
dari unsur yang tidak didefinisikan, ke unsur yang didefinisikan, ke aksioma atau postulat,
dan akhirnya dalil. Sedangkan hakekat model yaitu model kosong dari suatu arti.
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (2008: 923) model adalah pola (contoh,
acuan, ragam, dan sebagainya) dari sesuatu yang akan dibuat atau dihasilkan. Pemodelan
adalah pendukung kuat makna dan pemahaman dalam matematika. Pemodelan mendorong
penalaran melalui proses penyederhanaan dan elaborasi yang saling melengkapi. Pada
1980-an, Shell Centre for Mathematical
Education dan dewan ujian Inggris mengembangkan kurikulum dan skema
penilaian Numeracy
through Problem Solving (NTPS, 1987-89). Meskipun utamanya
ditujukan untuk mengembangkan literasi matematika, mereka juga menunjukkan
bagaimana kegiatan pemodelan dapat mempromosikan representasi, simbol dan
formalisme, dan kompetensi alat.
2. Epistemologi
Epistemologis
membahas tentang terjadinya dan kesahihan atau kebenaran ilmu.( pengantar
filsafat ilmu (Suaedi, 2016). Epistemologi adalah cabang filsafat yang
bersangkut paut dengan ilmu pengetahuan. Istilah epistemologi berasal dari dua
kata Yunani, episteme (pengetahuan) dan logos (kata, pikiran, percakapan, atau
ilmu). Jadi epistemologi berarti kata, pikiran, percakapan tentang pengetahuan
atau ilmu pengetahuan.
Ada tiga (3) jenis pengetahuan. Pertama, pengetahuan biasa,
pengetahuan ini hasil dari penyerapan inderawi terhadap objek tertentu yang
dijumpai. Kedua, pengetahuan ilmiah, yakni pengetahuan yang diperoleh melalui
metode-metode ilmiah yang lebih menjamin kebenaran atau kepastian yang dicapai.
Pengetahuan ini disebut sains. Dan ketiga, pengetahuan filsafati, yakni
pengetahuan yang berkaitan dengan hakikat, prinsip, dan asas dari seluruh
realita yang dipersoalkan selaku objek yang hendak diketahui.
Secara epistemologis, model merupakan metodologi yang berjalan
dalam timeline vital (dipilih) dan fatal (memilih). Berikut ini merurut Bitman
Simanullang dan Clara Ika Sari Budhayanti (2008) diberikan suatu metodologi
dasar dalam proses penentuan model matematika atau sering disebut pemodelan
matematika.
Tahap 1. Masalah.
Adanya
masalah nyata yang ingin dicari solusinya merupakan awal kegiatan penyelidikan.
Masalah tersebut harus diidentifikasi secara jelas, diperiksa dengan teliti
menurut kepentingannya. Bila masalahnya bersifat umum maka diupayakan menjadi
masalah khusus atau operasional.
Tahap 2. Karakterisasi masalah.
Masalah
yang diteliti diperlukan karakterisasi masalahnya, yaitu pengertian yang
mendasar tentang masalah yang dihadapi, termasuk pemilihan variabel yang
relevan dalam pembuatan model serta keterkaitanya.
Tahap 3. Formulasi model matematik.
Formulasi
model merupakan penterjemahan dari masalah kedalam persamaan matematik yang
menghasilkan model matematik. Ini biasanya merupakan tahap (pekerjaan) yang
paling penting dan sukar. Makin paham akan masalah yang dihadapi dan kokoh
penguasaan matematik seseorang, akan sangat membantu memudahkan dalam mencari
modelnya. Dalam pemodelan ini kita selalu berusaha untuk mencari model yang
sesuai tetapi sederhana. Makin sederhana model yang diperoleh untuk tujuan yang
ingin dicapai makin dianggap baik model itu. Dalam hal ini model yang digunakan
ada-kalanya lebih dari satu persamaan bahkan merupakan suatu sistem, atau suatu
fungsi dengan variabelvariabel dalam bentuk persamaan parameter. Hal ini
tergantung anggapan yang digunakan. Tidak tertutup kemungkinan pada tahap ini
juga dilakukan "coba" , karena model matematik ini bukanlah merupakan
hasil dari proses sekali jadi.
Tahap 4. Analisis.
Analisis
matematik kemudian dilakukan dengan pendugaan parameter serta deduksi
sifat-sifat yang diperoleh dari model yang digunakan.
Tahap 5. Validasi.
Model
umumnya merupakan abstraksi masalah yang sudah disederhanakan, sehingga
hasilnya mungkin berbeda dengan kenyataan yang diperoleh. Untuk itu model yang
diperoleh ini perlu divalidasi, yaitu sejauh mana model itu dapat dianggap
memadai dalam merepreaen-tasikan masalah yang dihadapi. Proses validasi ini
sebe-narnya sudah dimulai dalam tahap analisis, misalnya dalam hal konsistensi
model terhadap kaedah-kaedah yang berlaku.
Tahap 6. Perubahan.
Apabila
model yang dibuat dianggap tidak memadai maka terdapat kemungkinan bahwa
formulasl model yang digunakan atau karakterisasi masalah masih banyak belum
layak (sesuai), sehingga perlu diadakan perubahan untuk
B. FILOSOFIS MATEMATIKA
Filsafat
matematika merupakan salah satu bagian dari filsafat ilmu. matematika sebagai
ilmu, baru dikembangkan oleh filsuf Yunani sekitar lima ribu tahun kemudian.
Filsuf-filsuf besar Yunani yang mengambangkan matematika ialah Pythagoras dan
Plato, meskipun secara umum dapat dikatakan semua filsuf Yunani kuno bukan
hanya menguasai matematika, melainkan juga ikut serta mengembangkannya.
Pythagoras menemukan kenyataan yang menunjukkan bahwa fenomena yang berbeda
dapat menunjukkan sifat-sifat matematis yang identik, ia menyimpulkan bahwa
sifat-sifat tersebut dapat dilambangkan ke dalam bilangan dan dalam keterhubungan
angka-angka. Semboyan Pythagoras yang sangat terkenal adalah panta aritmos yang
berarti segala sesuatu adalah bilangan (kebenaran asersi ini akan dibahas dalam
Modul selanjutnya). Plato berpendapat bahwa geometri adalah kunci untuk meraih
pengetahuan dan kebenaran filsafat. Menurut Plato, ada suatu “dunia” yang
disebutnya “dunia ide”, yang dirancang secara matematis. Segala sesuatu yang
dapat dipahami lewat indera, hanyalah suatu representasi tidak sempurna dari
“dunia ide” tersebut. Dunia ide bukan hanya model ideal dari objek fisik saja
akan tetapi juga termasuk kejadian-kejadian. Menurut Plato, matematika bukanlah
idealisasi aspek-aspek tertentu dari dunia empiris akan tetapi sebagai
deskripsi dari bagian realitanya.
Filsafat matematika Aristoteles sebagian dikembangkan dari
oposisinya terhadap Plato (gurunya) dan sebagian lagi bebas dari ajaran Plato.
Aristoteles membedakan dengan tajam antara kemungkinan mengabstraksi bulatan
dengan karakteristik matematis yang lain dan objek-objek dan kebebasan
keberadaannya dari karakteristik atau contoh-contohnya, yakni lingkaran. Bidang
studi matematika adalah hasil abstraksi matematis yang ia sebut “objek
matematis”.
Filsuf matematika yang lainnya yaitu Gottfried Wilhelm Leibniz. Ia
adalah matematikawan, filsuf, dan fisikawan yang banyak menyerupai Plato dan
Aristoteles. Dalam bukunya Monandology, yang ditulis dua tahun sebelum
kematiannya, ia memberikan sinopsis filsafatnya sebagai berikut:
“Terdapatlah, juga, dua
macam kebenaran, yaitu kebenaran penalaran dan kebenaran kenyataan (fakta).
Kebenaran penalaran adalah perlu dan lawannya adalah tidak mungkin. Kebenaran
kenyataan adalah kebetulan dan lawannya adalah mungkin. Apabila suatu kebenaran
adalah perlu, alasannya dapat dicari dengan melalui analisis, menguraikannya ke
dalam ide-ide kebenaran yang lebih sederhana, sampai Anda tiba di sini tempat
yang Anda ... Dengan demikian, kebenaran penalaran, mendasarkan pada “prinsip
kontradiksi”, yang diambilnya untuk mengkover prinsip identitas dan prinsip
tolak-tengah. Bukan hanya tolologi trivial, tetapi semua aksioma, postulat,
definisi, dan teorema matematika, adalah kebenaran penalaran, dengan kata lain,
semuanya itu adalah proposisi identik yang sebaliknya adalah suatu pernyataan
kontradiksi”.
1. Limit Leibniz/Konsep Kalkulus
a. Konsepsi Leibniz
Konsepsi
Leibniz tentang bidang studi matematika murni sangat berbeda dengan pandangan
Plato dan Aristoteles. Bagi Plato, proposisi matematis adalah serupa proposisi
logis dan bahwa proposisi ini bukan objek tertentu yang permanen atau
idealisasi hasil abstraksi objek-objek atau sebarang jenis obyek.
Proposisi-proposisi itu benar karena penolakannya menjadi tak mungkin secara
logis. Anda boleh mengatakan bahwa proposisi-proposisi adalah perlu benar untuk
semua objek, semua kejadian yang mungkin, atau menggunakan phrase Leibniz,
dalam semua dunia yang mungkin.
Leibniz
adalah orang yang sangat taat beragama dan banyak menulis tentang agama. Bahkan
penemuannya tentang bilangan biner dikaitkan dengan kepercayaannya yang kokoh.
Ia memandang Tuhan sebagai representasi dari 1, dan kekosongan, sebagai 0.
Tepat seperti Tuhan dapat menciptakan segala sesuatu di kekosongan itu,
demikian pulalah semua bilangan dapat disajikan dalam sistem biner dengan
menggunakan lambang 1 dan 0. Leibniz menemukan kalkulus pada kira-kira
bersamaan waktu dengan Newton, dan telah menjadi kontroversi siapakah yang
terlebih dahulu menemukan. Leibniz juga menemukan mesin hitung yang mampu
menjumlah, mengurang, mengali, membagi, dan menarik akar.
b. Konsep Kalkulus Leibniz
Walau
beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani,
Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai
di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz
mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan
pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika. Aplikasi kalkulus diferensial
meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan
optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas,
volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh
meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
2. Matematika Formal Hilbert
a. Formalisme Hilbert
Selain
Plato, filsuf yang membahas mengenai geometri adalah Hilbert. David Hilbert
(1862-1943) merupakan filsuf dan matematikawan hebat yang berasal dari Jerman. Ia yang berusaha untuk menciptakan matematika sebagai suatu sistem yang
tunggal, lengkap dan konsisten. Namun usaha Hilbert kemudian dapat dipatahkan
atau ditemukan kesalahannya oleh muridnya sendiri yang bernama
Godel yang menyatakan bahwa tidaklah mungkin diciptakan matematika yang
tunggal, lengkap dan konsisten. Persoalan Geometri dan Aljabar kuno, dapat
ditemukan di dokumen yang tersimpan di Berlin. Salah satu persoalan tersebut
misalnya memperkirakan panjang diagonal suatu persegi panjang. Mereka menggunakanhubungan
antara panjang sisi-sisi persegi panjang yang kemudian mereka menemukan bentuk
segitiga siku-siku. Hubungan antara sisi-sisi siku-siku ini kemudian dikenal
dengan nama Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras ini sebetulnya telah
digunakan lebih dari 1000 tahun sebelum ditemukan oleh Pythagoras.
Hilbert menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah kesatuan yang
konsisten, yaitu sebuah struktur yang tergantung pada vitalitas hubungan antara
bagian-bagiannya, dan penemuan dalam matematika dibuat dengan penyederhanaan
metode, menghilangnya prosedur lama yang telah kehilangan kegunaannya dan
penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk menemukan konsep baru. Hilbert
berpendapat bahwa harus ada prosedur yang jelas untuk memutuskan apakah suatu
proposisi tertentu berikut dari himpunan aksioma, dengan itu, diberikan sebuah
sistem yang jelas dari aksioma dan aturan inferensi yang tepat, akan lebih
mungkin, meskipun tidak benar-benar praktis, untuk menjalankan melalui semua
proposisi mungkin, dimulai dengan urutan terpendek simbol, dan untuk memeriksa
mana yang valid. Pada prinsipnya, suatu prosedur keputusan secara otomatis akan
menghasilkan semua teorema mungkin dalam matematika. Ia juga berpendapat bahwa
kita dapat memecahkan masalah jika kita cukup pintar dan bekerja cukup lama.
Folkerts,
M.(2004) menunjukkan bahwa pada tahun 1920 Hilbert mengajukan proposal yang
paling rinci untuk menetapkan validitas matematika; menurut teori bukti,
semuanya akan dimasukkan ke dalam bentuk aksioma, memungkinkan aturan inferensi
menjadi hanya logika dasar, dan hanya mereka kesimpulan yang bisa dicapai dari
himpunan berhingga dari aksioma dan aturan inferensi itu harus diterima.
Menurut Hilbert, sistem seperti itu ada, misalnya, orde pertama predikat
kalkulus, tapi tidak ada yang ditemukan mampu memungkinkan matematikawan untuk
melakukan matematika yang menarik. Posy, C. (1992) menemukan bahwa Hilbert
benar-benar menempatkan struktur pada bagian intuitif matematika, pada dasarnya
bahwa pemikiran finitary dan sistem formal.
b. Karya Hilbert
Hilbert
dan muridnya menyumbang banyak pada kerangka dasar matematika yang dibutuhkan
kepada mekanika kuantum dan relativitas umum. Ia merupakan salah satu pendiri
logika matematika. Ia juga salah satu orang pertama yang menghasilkan pembedaan
selang matematika dan metamatematika, dan secara hangat mempertahankan teori
himpunan Cantor. Contoh terkenal kepandaiannya di dunia matematika ialah
presentasinya pada 1900 keadaan himpunan masalah yang menentukan jalannya
beberapa agung penelitian matematika pada abad ke-20. Logika matematika yaitu
cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan
aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika
matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori
model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif.
Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.
Hukum logika
Hukum komutatif
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ∨ q ≡ q ∨ p
Hukum asosiatif
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
Hukum distributif
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Hukum identitas
p ∧ B ≡ p
p ∨ S ≡ p
Hukum ikatan
p ∧ S ≡ S
p ∨ B ≡ B
Hukum negasi
p ∧ ~p ≡ B
p ∨ ~p ≡ S
Hukum negasi ganda
~(~p) ≡ p
Hukum idempotent
p ∧ p ≡ p
p ∨ p ≡ p
Hukum De Morgan
~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
Hukum penyerapan
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
Negasi B dan S
~B ≡ S
~S ≡ B
Lebih
lanjut, Hilbert (Marsigit, 2012) menjelaskan bahwa matematika formal didasarkan
pada logika formal; mengurangi hubungan matematis untuk pertanyaan keanggotaan
himpunan; objek primitif hanya terdefinisi dalam matematika formal adalah
himpunan kosong yang berisi apa-apa. Ada klaim bahwa hampir setiap abstraksi
matematika yang pernah diselidiki dapat diturunkan sebagai seperangkat aksioma
teori himpunan dan hampir setiap bukti matematis yang pernah dibangun dapat
dibuat dengan asumsi tidak ada di luar yang aksioma. Itu juga menyatakan bahwa
jika tak terhingga merupakan potensi dan tidak pernah menjadi kenyataan selesai
maka himpunan terbatas tidak ada, karena itu, ahli matematika mencoba untuk
mendefinisikan struktur tak terbatas yang paling umum dibayangkan karena itu
tampaknya memberikan harapan paling baik, jika himpunan tidak terbatas ada maka
akan menjadi landasan matematika yang kokoh. Lebih lanjut, ia menyatakan bahwa
matematika harus langsung terhubung ke sifat program non-deterministic di alam
semesta yang potensial tidak terbatas, hal ini akan membatasi ekstensi untuk
sebuah himpunan bilangan ordinal dan himpunan yang dapat dibangun dari mereka.
Obyek didefinisikan dalam suatu sistem matematis yang formal tidak peduli
apakah aksioma tak terhingga itu termasuk yang dimasukkan, dan bahwa sistem
formal dapat diartikan sebagai suatu program komputer untuk menghasilkan teorema
di mana program tersebut dapat menghasilkan semua nama-nama benda atau himpunan
yang didefinisikan dalam sistem tersebut. Selanjutnya, semua bilangan kardinal
yang lebih besar yang pernah didefinisikan dalam sistem matematika yang
terbatas, tidak akan dihitung dari dalam sistem tersebut.
3. Teorema Godel
a. Kurt Friedrich Gödel
Kurt
Friedrich Gödel adalah seorang ahli matematika, logika dan filsuf asal Austria,
yang kemudian beralih menjadi warganegara Amerika Serikat. Bersama dengan
Aristoteles dan Gottlob Frege, ia dianggap sebagai tokoh logika paling penting
dalam sejarah, di mana Gödel memberikan dampak luar biasa pada pemikiran ilmiah
dan filsafat pada abad ke-20, ketika tokoh lain seperti Bertrand Russell, A. N.
Whitehead, dan David Hilbert mempelopori penggunaan logika dan teori himpunan
untuk memahami dasar-dasar matematika. Gödel mempublikasikan kedua teorema
ketidaklengkapan hasil pemikirannya pada tahun 1931 ketika ia berusia 25 tahun,
setahun setelah meraih gelar doktor pada University of Vienna.
Teorema
ketidaklengkapan Gödel yang pertama pertama kali muncul sebagai "Teorema
VI" dalam makalah Gödel pada tahun 1931 berjudul "On Formally
Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I." Teorema
ini ditulis dalam matematika formal yang sangat teknis. Dapat dinyatakan secara
lebih sederhana dari terjemahan bahasa Inggris sebagai:Setiap teori yang
dihasilkan secara efektif yang mampu menyatakan aritmetika elementer tidak
dapat sama-sama konsisten dan lengkap atau komplet. Khususnya, untuk setiap
teori formal yang secara efektif dihasilkan dan yang konsisten, yang
membuktikan kebenaran aritmetika dasar tertentu, ada suatu pernyataan
aritmetika yang benar, tetapi tidak dapat dibuktikan dalam teori ini (Kleene
1967, p. 250).
b. Teorema ketidaklengkapan Gödel
Teorema
ketidaklengkapan Gödel yang kedua pertama kali muncul sebagai "Teorema
XI" dalam makalah Gödel pada tahun 1931 berjudul "On Formally
Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I."
Sebagaimana dengan teorema ketidaklengkapan pertama, Gödel menulis teorema ini
dalam matematika formal yang sangat teknis. Dapat dinyatakan secara lebih
sederhana dari terjemahan bahasa Inggris sebagai: Untuk setiap teori T yang
dihasilkan formal secara efektif memuat kebenaran aritmetika dasar dan juga
kebenaran tertentuk mengenai provabilitas formal, jika T memuat suatu
pernyataan mengenai konsistensinya sendiri,maka T inkonsisten. Ini menguatkan
teorema ketidaklengkapan pertama, karena pernyataan yang dikonstruksi dalam
teorema ketidaklengkapan pertama tidak secara langsung menyatakan konsitensi
teori itu. Bukti dari teorema ketidaklengkapan kedua diperoleh dengan
memformalisasi bukti dari teorema ketidaklengkapan pertama dari dalam teori itu
sendiri.
Setelah
Gödel mempublikasikan buktinya mengenai teorema kelengkapan sebagai tesis
doktoralnya pada tahun 1929, ia beralih kepada problem kedua untuk
habilitasinya. Tujuan asalnya adalah untuk memperoleh pemecahan positif dari
problem kedua Hilbert (Dawson 1997, p. 63). Pada saat itu, teori-teori bilangan
asli dan bilangan real yang mirip dengan aritmetika order kedua dikenal sebagai
"analisis", sedangkan teori-teori bilangan asli saja dikenal sebagai
"aritmetika".
c. Bilangan Godel
Selain itu, terdapat juga bilangan Godel
(Godel number). Dalam rangka untuk
membuat hubungan antara implikasi logika murni dan aritmatika (Beth, 1962),
dikaitkan dengan setiap formula atau angka natural g(U),
yang disebut Godel number dan
ditentukan oleh berikut ini:
(G1)
Godel number dari atoms A, B, C, ... masing-masing,
(G2)
Pengenalan
Godel number memungkinkan kita untuk menyatakan sebagai
berikut varian aritmatika dengan ketentuan (F3") dalam bagian 1: Angka
natural g adalah Godel number dari formula
implikasi logika murni jika dan hanya jika ada urutan bilangan terbatas gl,
g2, ..., gk seperti itu, untuk setiap j (1 <j <k), lebih baik adalah
angka natural h sehingga gj
= ke 7 atau dapat ditemukan bilangan natural m dan n
(l<m, n
<j) sehingga gj = 
, sedangkan gk = g.
, sedangkan gk = g.4. Teorema undefinability Tarski
a. Konsep Kebenaran Klasik
Alfred
Tarski adalah ilmuwan Amerika asal Polandia menekuni bidang matematika,
filsafat logika, dan bahasa. Salah satu karya yang paling terkenal dari Tarski
adalah logika dalam bidang matematika. Ia menciptakan teori-model,
pengertian-kebenaran, definisi-terhingga Taski, bilangan kardinal terukur dan
bilangan kardinal tak terpakai, dan masalah kepastian aljabar elementer serta
logika analitik. Tarski mengonstruk sebuah definisi
semantik dari pernyataan yang benar, yakni pernyataan yang cukup secara
material dan benar secara formal. Kriteria-kriteria yang muncul dari
investigasi ini antara lain sintaks dan semantik di satu sisi, dan kebenaran
dan validitas di sisi lainnya. Sintaks dan semantik berkaitan secara nyata
dengan forma dan konten (Sinaceur dalam Guerrier, 2008), di mana hal tersebut
merupakan isu krusial dalam pendidikan Matematika. Proyek Tarski adalah
menjembatani secara nyata antara sistem formal dan realita.
Pada tahun 1944
dia mengemukakan kembali konsep kebenaran klasik milik Aristoteles dalam bahasa
yang modern melalui definisi berikut: “‘the truth of a proposition lies in its
agreement (or correspondence) with reality; or a proposition is true if it
designates an existent state of things.’’ Kebenaran proposisi terletak pada
kesepakatan (atau korespondensi) dengan realita, atau suatu proposisi bernilai
benar jika ia membentuk status keberadaan sesuatu. Untuk mengelaborasi
konstruksi rekursif dari kebenaran suatu proposisi, Tarski mengenalkan konsep
yang lebih umum tentang ‘‘satisfaction of a propositional function (a
predicate) by such or such objects, kesesuaian fungsi proposisi objek’’ kepada
fakta bahwa ‘‘complex propositions are not aggregates of propositions, but
obtained from propositional functions. Proposisi kompleks tidak beragregasi,
tetapi diperoleh dari fungsi proposisi’’ Definisi ini menegaskan fakta bahwa
status kebenaran dari sebuah fungsi proposisi mesti berlaku di dunia realita.
Hal ini memungkinkan bagi kita untuk mengonstruk kriteria kesesuaian suatu
formula yang kompleks terhadap predikat kalkulus pada struktur manapun secara
rekursif dengan menggunakan intepretasi terhadap tiap huruf pada formula.
Sehingga dapat didefinisikan ungkapan tentang “model for a formula”, yang
mengatur suatu struktur interpretasi dari suatu formula yang memenuhi setiap
rangkaian objek yang relevan.
b. Model Pendekatan Teoritik Tarski
Tarski dalam
mendefinisikan notion yang fundamental tentang “konsekuensi logis dalam sudut
pandang semantik”: suatu formula G menyesuaikan dari suatu formula F secara
logis jika dan hanya jika setiap model
dari F merupakan model bagi G. Hal ini bermakna bahwa formula “
adalah benar untuk setiap intepretasi terhadap
F dan G pada setiap struktur tak kosong. Contohnya, dalam konteks semantik,
“Q(x)” merupakan konsekuensi logis dari “
Perhatikan bahwa ini merupakan ekstensi dari
hasil korespondensi yang dihasilkan oleh Wittgenstein, dalam pemahaman bahwa
“Q(x)” dan “
bukan merupakan variabel proposisi, tapi
fungsi proposisi. Sehingga tidak mungkin untuk menggunakan tabel kebenaran
secara langsung.
adalah benar untuk setiap intepretasi terhadap
F dan G pada setiap struktur tak kosong. Contohnya, dalam konteks semantik,
“Q(x)” merupakan konsekuensi logis dari “ Perhatikan bahwa ini merupakan ekstensi dari
hasil korespondensi yang dihasilkan oleh Wittgenstein, dalam pemahaman bahwa
“Q(x)” dan “ bukan merupakan variabel proposisi, tapi
fungsi proposisi. Sehingga tidak mungkin untuk menggunakan tabel kebenaran
secara langsung.
Model pendekatan teoritik dikembangkan
oleh Tarski dalam bukunya Introduction to logic and to the methodology of the
deductive sciences. Diketahui suatu teori deduktif yang memungkinkan memahami
suatu sistem aksiomatik sebagai bahasa formal dan mengintepretasikan kembali
sistem dengan interpretasi yang lain. Interpretasi dimana suatu aksioma
bernilai benar disebut dengan model sistem aksiomatik. Pendekatan ini (Beth,
1962) menjadikan tak berhingga banyaknya formula sebagai aksioma, yang
diperoleh dari beberapa aksioma tertentu yang digunakan berulang-ulang pada
aturan inferensial. Aksioma-aksioma tersebut dinamakan tesis. Beberapa karakter
tesis yang mendasar antara lain,
(I)
(II)
(III)
Dari tesis-tesis tersebut dikembangkan
menggunakan skema inferensial dan modus Ponens sehingga diperoleh berbagai
teorema. Misalnya akan dibuktikan bahwa 
juga merupakan tesis. Dari karakter aksioma I
maka dapat disusun implikasi berupa (1)
(
. Sedangkan dari
karakter aksioma II dapat disusun implikasi (2) 
. Dari (1) dan (2)
dengan skema (iij) maka diperoleh (
Hal tersebut memberikan
beberapa hasil yang penting:
juga merupakan tesis. Dari karakter aksioma I
maka dapat disusun implikasi berupa (1)
(. Sedangkan dari
karakter aksioma II dapat disusun implikasi (2) . Dari (1) dan (2)
dengan skema (iij) maka diperoleh (Hal tersebut memberikan
beberapa hasil yang penting:
“Semua
teorema dibuktikan dari suatu sistem aksiomatik yang valid untuk setiap
interpretasi sistem”
5. Alan Turing
Alan
Mathison Turing adalah seorang peneliti matematika dan komputer, dan pahlawan
perang Inggris. Folkerts menemukan bahwa Alan Turing mendefinisikan fungsi
sebagai program untuk untuk menghitung dengan mesin sederhana di mana fungsi
ini sama dengan apa yang Gödel pikirkan.
Menurut Alan Turing, semua definisi dari fungsi yang berbeda dapat dihitung
dengancara membuat himpunan yang sama dengan fungsi yang ada. Fungsi dapat
dihitung karena yang paling banyak cara untuk program mesin Turing dan jumlah
fungsi yang mungkin dapat ditetapkan, sehingga fungsi dapat ditentukan secara
teoritis sebagai sebuah pengecualian. Alan Turing menunjukkan bahwa fungsi
adalah relasi yang tak terhitung yang menghasilkan output yang tergantung pada
variabel acak.
a. Halting Problem
Halting
Problem, misalkan kita punya program komputer sederhana dengan intruksi
“ambil x bilangan bulat
kurang dari 10 kalikan terus dengan x itu sendiri sampai hasilnya lebih dari
100”
Jika kita ambil x=9 maka
program akan berhenti di langkah ke-2
Jika kita ambil x=4 maka program
akan berhenti di langkah ke-3
Tapi jika kita ambil x=1 maka program tersebut tidak akan pernah berhenti
Pada contoh program
sederhana diatas dengan mudah kita mengetahui variabel input apa yang
membuat program tersebut jalan terus menerus tanpa henti. Tetapi
bagaimana kalau program itu rumit, bagaimana kita mengetahui suatu input jika
diinputkan ke suatu program maka program
itu akan berhenti atau malah jalan terus menerus. Cara paling mudah kita
jalankan saja programnya lalu kita tunggu apakah akan berhenti halting atau
malah jalan terus menerus, tapi berapa
lama kita belum mengetahuinya bahkan setahun sebelum kita mememutuskan bahwa
variabel anu menyebabkan program ini jalan terus menerus
Pertanyaannya
adalah adakah metode umum yang bisa
menganalisa semua program, untuk dapat mengetahui variabel-variabel input apa
saja yang menyebabkan program berhenti halting atau jalan terus menerus. Pertanyan
diatas disebut halting problem. Menurut Allan Turing, sang penemu komputer hal tersebut adalah mustahil.
b. Mesin Turing
Selain
itu, salah satu karya dari Alan Turing yaitu Mesin Turing. Mesin Turing
matematis model mesin yang mekanis beroperasi pada tape. Pada rekaman ini
adalah simbol yang mesin dapat memba,a dan menulis! satu per satu! menggunakan
kepala tape. 8perasi sepenunya ditentukan oleh satu set instruksi dasar yang terbatas
seperti& di negara bagian 42, jika simbol yang terlihat adalah 0, menulis
1, jika simbol yang terlihat adalah 1, pergeseran ke kanan, dan berubah menjadi
negara 17, di negara bagian 17 jika simbol yang terlihat adalah 0, menulis 1
mengubah ke negara 6 (Setiawan, 2012).
6. Matematika Non-Standar
a. Teori Model
Fakta
dasar dalam teori model adalah setiap tak terbatas struktur matematika memiliki
model yang tidak standar , yaitu struktur non-isomorfik yang memenuhi sifat
dasar yang sama. Dengan kata lain, ada yang berbeda tetapi struktur yang
setara, dalam arti bahwa mereka tidak dapat dibedakan dengan sarana sifat dasar
yang mereka puaskan. Dalam slogan, orang bisa mengatakan itu dalam matematika
"kata-kata tidak cukup untuk menggambarkan realitas". Model tidak
standar pertama kali ditunjukkan oleh Thoralf Skolem di akhir dua puluhan.
Penggunaan
model yang tidak standar untuk membuktikan teorema "standar", dapat
dilihat dengan cara yang sama seperti, katakanlah, penggunaan bilangan kompleks
C untuk membuktikan hasil bilangan real Jika seseorang hanya tertarik
pada bilangan real, maka bilangan kompleks dapat dilihat sebagai apa-apa selain
alat belaka untuk melakukan bukti. Metode tidak standar tidak
menimbulkan matematika tidak standar dikontraskan dengan matematika
standar . Sebaliknya, mereka memberikan yang baru alat yang ampuh yang
berlaku di seluruh spektrum matematika, dan yang kekuatan dan potensinya
mungkin masih jauh dari dieksploitasi sepenuhnya.
a. Pendekatan Superstruktur
-
Presentasi
asli Abraham Robinson dikembangkan dalam tipe-teoretis versi logika tingkat
tinggi (lihat [R1], [R2]).
-
Sebagaimana
formalisme logis dibutuhkan tampaknya tidak perlu rumit bagi kebanyakan ahli
matematika, pendekatan lain menjadi lebih populer dalam prakteknya, yaitu yang
lebih "konkret" yang didasarkan pada konstruksi kekuatan ultra R.
Penggunaan ultrapower dalam analstandar tidak standar ysis dipopulerkan oleh
Wilhelmus Luxemburg.
-
Hingga
kini, presentasi paling populertasi analisis tidak standar adalah apa yang
disebut pendekatan superstruktur
-
Untuk
kenyamanan, individu biasanya dianggap sebagai atom , yaitu benda tanpa
elemen dan berbeda dari emptyset ∅ . Dalam praktiknya, ini sebuah asumsi
alami. Misalnya, dalam analisis, bilangan real selalu ditangani sebagai entitas
primitif daripada sebagai satu set. 7 Embedding tidak standar adalah
petaatur kerangka teori. Meskipun atom tidak diizinkan dalam ZFC, namun, set
yang sesuai X dapat dianggap yang berperilaku sebagai atom relatif
terhadap struktur atasnya. Tepatnya, set X dapat diambil dengan properti
x ∩ A = ∅ untuk semua x ∈ X dan untuk semua A ∈ V ( X ).
-
V ( X ) → V ( Y
) dari struktur atas V ( X ), disebut model standar , ke
dalam superstruktur lain V ( Y ), yang disebut model tidak
standar , yang memenuhi
-
sifat-sifat
berikut:
• ∗ X = Y
• Prinsip Transfer
Untuk setiap rumus terikat σ
( x 1 , ..., x n ) dan elemen a 1 , ..., a n ∈ V ( X ),
〈V ( X ) , ∈〉
| = σ ( a 1 , ..., a
n ) ⇔
〈V
( Y ) , ∈〉 | = σ ( ∗ a 1 , ..., ∗ a n )
yaitu properti yang diekspresikan
oleh σ benar dari elemen a 1 , ..., a n di dalam model
standar jika dan hanya jika itu benar untuk elemen ∗ a 1 , ..., ∗ a n dalam model tidak standar.
• Non-sepele
Untuk setiap himpunan tak terhingga A
∈ V ( X ), { ∗ a : a ∈ A} adalah bagian yang tepat dari ∗ A. Beberapa eksposisi yang sangat baik
dari pendekatan superstruktur ke tidak standar analisis dapat ditemukan dalam
literatur.
Ingatlah bahwa set standar
adalah elemen apa pun dari model standar; internal set adalah
setiap x dengan x ∈ ∗ A untuk beberapa standar A. Terkadang, juga elemen
bentuk ∗
A disebut standar. Untuk menghindari
kebingungan, di sini kita akan memanggil mereka standar internal . Set
eksternal adalah elemen dari model tidak standar itu bukan internal.
• Prinsip Transfer (untuk jagat raya
internal).
Untuk setiap rumus terikat σ
( x 1 , ..., x n ) dan untuk semua elemen standar a 1 ,
..., a n , σ ( a 1 , ..., a n ) ⇔ σ I ( ∗ a 1 , ..., ∗ a n ). Faktanya, perhatikan bahwa V
( X ), V ( Y ) dan saya adalah set transitif.
Kemudian ingat bahwa rumus terikat dipertahankan antara set transitif dan
menerapkan transfer. Selain transfer, prinsip dasar lain dari analisis tidak
standar adalah properti saturasi. Kejenuhan adalah gagasan
model-teoretik yang khas biasanya didefinisikan dalam hal realisasi set rumus.
Namun, secara teori-set konteks, saturasi dapat diberikan formulasi elementer
sebagai persimpangan milik. Justru, formulasi berikut sekarang biasanya
dianggap dalam analisis standar ( κ kardinal yang tak terhitung yang
diberikan).
• Properti κ-Saturation
Biarkan F menjadi keluarga set
internal dengan properti persimpangan terbatas (FIP), yaitu sedemikian rupa
sehingga semua subfamilinya yang terbatas memiliki persimpangan yang kosong.
Jika F memiliki kardinalitas kurang dari κ, maka F memiliki persimpangan
nonempty.
Pendekatan superstruktur sepenuhnya
dikembangkan dalam teori himpunan, dengan demikian ia tidak menghadirkan
masalah mendasar. Namun, itu mengungkapkan batasan serius jika diusulkan
sebagai kerangka kerja untuk penggunaan metode tidak standar dalam matematika
secara umum penuh. Berikut adalah daftar tentatif dari batasan tersebut.
• Model superstruktur hanya
merupakan bagian dari ZFC.
Karena superstruktur hanya terdiri
dari set peringkat terbatas dalam kumulatif hierarki, mereka tidak memenuhi
aksioma Infinity. Selain itu, Penggantinya aksioma juga tidak terpenuhi, karena
set individu diasumsikan tak terbatas. Sebagai akibatnya, superstruktur tidak
memungkinkan ruang lingkup penuh teknik matematika. Pembatasan terhadap set
peringkat terbatas adalah reaksi terhadap fakta berikut.
Proposisi 2.1. Biarkan A dan B
menjadi dua set transitif. Jika 〈A, ∈〉
| = Infinity kalau begitu
tidak ada embeddings nontrivial ∗ : A → B yang memenuhi prinsip
transfer.
• Struktur super yang berbeda
diperlukan untuk masalah yang berbeda.
Misalkan kita ingin mempelajari
struktur matematika M dengan menggunakan tidak standar
metode. Pertama, kita harus
mengambil hak suprastruktur V ( X ) untuk tujuan itu. F
dengan domain N sedemikian rupa sehingga n ↦ → {· · · {∅} · · ·} ( n kurung). F dapat
didefinisikan dalam V ( X ) tetapi range ( F ) / ∈ V ( X ).
• Pada prinsipnya, metode tidak
standar tidak berkaitan dengan struktur atas.
Bahkan, perumusan dan penggunaan
metode tidak standar tidak memiliki koneksi dengan gagasan set-teoretis teknis
hirarki set kumulatif.
• Tampaknya secara estetika
diinginkan untuk memasukkan semua teknik yang tidak standar di dalam sistem aksiomatik terpadu.
Tujuan memberikan kerangka dasar
umum di mana hampir semua matematika termasuk argumen tidak standar dapat
tertanam, mengarah ke formulasi berbagai teori himpunan tidak standar .
Sepengetahuan penulis, secara
historis orang pertama yang secara eksplisit mempertimbangkan menghapus
kemungkinan sistem aksiomatik untuk analisis tidak standar adalah G. Kreisel
dalam makalahnya tahun 1969 [Kr]. Dia bertanya: “Apakah ada sistem formal
yang sederhana ... di mana praktik analisis tidak standar yang ada dapat
dikodifikasikan? Dan jika jawabannya positif: apakah sistem
formal ini merupakan perpanjangan konservatif dari sistem analisis saat
ini ...? "
Seperti yang muncul dari berbagai
sistem aksiomatik yang telah diusulkan sejak tahun tujuh puluhan, seorang yang
tidak standar yang ideal teori himpunan T harus memiliki sebanyak
kemungkinan fitur berikut.
a. T adalah perpanjangan dari "standar" matematika
seperti yang diformalkan oleh klasik Zermelo-Fraenkel menetapkan teori ZFC.
b. T mendalilkan prinsip transfer antara standar dan
internal semesta untuk formula bahasa matematika biasa.
c. T mencakup prinsip saturasi yang kuat, kadang-kadang
disebut idealisasi .
d. T memungkinkan standarisasi . Artinya, untuk set yang
diberikan, seseorang dapat mengambil set dari semua elemen standarnya, dan
hasilnya adalah lagi set standar.
e. T konservatif dibanding ZFC. Yaitu, fakta standar
dibuktikan oleh T jika dan hanya jika itu dibuktikan oleh ZFC.
DAFTAR PUSTAKA
Beth,
Evert W. 1962. Formal methods.
Dordrecth: D. Reidel Publishing Company
Folkerts,
M., 2004, Mathematics in the 17th and
18th centuries, Encyclopaedia Britannica,
Guerrier.
2008. Truth versus validity in mathematical proof. ZDM Mathematics Education, 40 (1) p.373-384
John W. Dawson, Jr.,
1997. Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel, A. K. Peters,
Wellesley Mass, ISBN
1-56881-256-6.
Marsigit.
(2011). Pengembangan Karakter dalam Pendidikan Matematika. Pendidikan Karakter dalam Perspektif dan Teori. Yogyakarta: UNY
Press
Marsigit.
(2011). Pengembangan Nilai-nilai Matematika dan Pendidikan Matematika sebagai
Pilar Pembangunan Karakter Bangsa. Seminar
Nasional Nilai-nilai dan Aplikasi dalam Dunia Matematika sebagai Pilar
Pembangunan Karakter Bangsa UNNES
Mauro
Di Nasso. 1999. On the Foundations of Nonstandard Mathematics. Dipartimento di
Matematica Applicata, Universitµa di Pisa, Italy
Setiawan,
Rusli. (2012). Definisi Mesin Turing. [Online]. Tersedia: https://www.academia.edu/6406418/Rusli_Setiawan_2012020066. [19 Mei 2019].
Simanullang,
B. dan Budhayanti, C. I. S. 2008. Pemodelan Matematika. [Online]. Tersedia:
http://www.academia.edu/10360343/Pemecahan_Masalah_Matematika_8_-1_ PEMODELAN_MATEMATIKA.
[19 Mei 2019].
Stephen Cole
Kleene, 1943, "Recursive predicates and quantifiers,"
reprinted from Transactions of the American Mathematical Society,
v. 53 n. 1, pp. 41–73 in Martin Davis 1965, The Undecidable (loc.
cit.) pp. 255–287.
STT
Pekanbaru. Diakses pada 14 Mei 2019 di http://portal-filsafat.sttpekanbaru.web.id/ind/2880-2765/David-Hilbert_22575_sttpekanbaru_portal-filsafat-sttpekanbaru.html
Suaedi. 2016. Pengantar
Filsafat Ilmu. Bogor: IPB Press.
Wikipedia. 2018. Diakses pada 14 Mei 2019 di https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_ketaklengkapan_G%C3%B6del#cite_note-1
